Математическое моделирование

метки: Математический, Моделирование, Зависимость, Величина, Модель, Объект, Параметр, Исследователь

Математическая модель

Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.

Математическое отношение – это гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта. Многие отношения могут быть описаны при помощи математических операций, связывающих один или несколько объектов с другим объектом или множеством объектов (результатом операции).

Абстрактная модель с ее объектами произвольной природы, отношениями и операциями определяется непротиворечивым набором правил, вводящих операции, которыми можно пользоваться, и устанавливающих общие отношения между их результатами. Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел).

Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правило соответствия, связывающее специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями. Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия; определяющие свойства этих моделей представляют собой более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение).

Объекты и операции более общих математических моделей часто ассоциируются с множествами действительных чисел, которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений.

Математическое моделирование — метод качественного и (или) количественного описания процесса с помощью, так называемой математической модели, при построении которой реальный процесс или явление описывается с помощью того или иного адекватного математического аппарата. Математическое моделирование является неотъемлемой частью современного исследования.

Математическое моделирование является типичной дисциплиной, находящейся, как сейчас часто говорят, на “стыке” нескольких наук. Адекватная математическая модель не может быть построена без глубокого знания того объекта, который “обслуживается” математической моделью. Иногда высказывается иллюзорная надежда, что математическая модель может быть создана совместно математиком, не знающим объекта моделирования, и специалистом по “объекту”, не знающим математики. Для успешной деятельности в области математического моделирования необходимо знать как математические методы, так и объект моделирования. С этим связано, например, наличие такой специальности как физик теоретик, основной деятельностью которого является математическое моделирование в физике. Разделение специалистов на теоретиков и экспериментаторов, утвердившееся в физике, несомненно, произойдет и в других науках, как фундаментальных, так и прикладных.

Математическое моделирование социальных процессов

... Роль моделирования в социологии В современной научной литературе понятия "модель" и "теория" трактуются неоднозначно, граница между ними размыта. В методологии науки признана в ... помощью математических отношений: равенств, неравенств, уравнений. В результате получается математическое описание изучаемого процесса или явление, то есть его математическая модель. Изучение математической модели всегда ...

Ввиду разнообразия применяемых математических моделей, их общая классификация затруднена. В литературе обычно приводят классификации, в основу которых положены различные подходы. Один из таких подходов связан с характером моделируемого процесса, когда выделяют детерминированные и вероятностные модели. Наряду с такой широко распространенной классификацией математических моделей существуют и другие.

Классификация математических моделей на основе особенностей применяемого математического аппарата . В ней можно выделить следующие их разновидности.

Обычно с помощью таких моделей описывают динамику систем, состоящих из дискретных элементов. С математической стороны — это системы обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений.

Математические модели с сосредоточенными параметрами широко применяются для описания систем, состоящих из дискретных объектов или совокупностей идентичных объектов. Например, широко используется динамическая модель полупроводникового лазера. В этой модели фигурируют две динамические переменные — концентрации неосновных носителей заряда и фотонов в активной зоне лазера.

В случае сложных систем число динамических переменных и, следовательно, дифференциальных уравнений может быть велико (до 10 ² … 10³ ).

В этих случаях полезны различные методы редукции системы, основанные на временной иерархии процессов, оценке влияния различных факторов и пренебрежении несущественными среди них и др.

Метод последовательного расширения модели может привести к созданию адекватной модели сложной системы.

Моделями этого типа описываются процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной природы и т. п. Эти процессы могут быть не только физической природы. Математические модели с распределенными параметрами широко распространены в биологии, физиологии и других науках. Чаще всего в качестве основы математической модели применяют уравнения математической физики, в том числе и нелинейные.

Общеизвестна основополагающая роль принципа наибольшего действия в физике. Например, все известные системы уравнений, описывающие физические процессы, могут быть выведены из экстремальных принципов. Однако и в других науках экстремальные принципы играют существенную роль.

Экстремальный принцип используется при аппроксимации эмпирических зависимостей аналитическим выражением. Графическое изображение такой зависимости и конкретный вид аналитического выражения, описывающего эту зависимость, определяют с помощью экстремального принципа, получившего название метода наименьших квадратов (метод Гаусса), суть которого заключается в следующем.

Пусть проводится опыт, целью которого является исследование зависимости некоторой физической величины Y от физической величины X. Предполагается, что величины х и у связаны функциональной зависимостью

y=j(х).

Вид этой зависимости и требуется определить из опыта. Предположим, что в результате опыта получили ряд экспериментальных точек и построили график зависимости у от х . Обычно экспериментальные точки на таком графике располагаются не совсем правильно, дают некоторый разброс, т. е. обнаруживают случайные отклонения от видимой общей закономерности. Эти отклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения. Тогда возникает типичная для практики задача сглаживания экспериментальной зависимости.

Для решения этой задачи обычно применяется расчетный метод, известный под названием метода наименьших квадратов (или метод Гаусса).

Разумеется, перечисленные разновидности математических моделей не исчерпывают весь математический аппарат, применяемый в математическом моделировании. Особенно разнообразен математический аппарат теоретической физики и, в частности, ее важнейшего раздела — физики элементарных частиц.

В качестве основного принципа классификации математических моделей часто используют области их применения. При таком подходе выделяются следующие области применения:

• физические процессы;
• технические приложения, в том числе управляемые системы, искусственный интеллект;
• жизненные процессы (биология, физиология, медицина);
• большие системы, связанные с взаимодействием людей (социальные, экономические, экологические);

• гуманитарные науки (языкознание, искусство).

(Области применения указаны в порядке, соответствующем убыванию уровня адекватности моделей).

Виды математических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические и экспериментальные факторные. Линейные и нелинейные, динамические и статические. непрерывные и дискретные, функциональные и структурные.

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

Классификация математических моделей (ТО — технический объект)

Виды математических моделей технических объектов
По форме представления ММ		По характеру отображаемых свойств ТО		По степени абстрагирования		По способу получения ММ
Инвариантные		Функциональные		ММ микроуровня (с распределенными параметрами)		Теоретические
Алгоритмические		Структурные		ММ макроуровня (со средоточенными параметрами)		Экспериментальные факторные
Аналитические		ММ метауровня
Графические (схемные)

Структура модели — это упорядоченное множество элементов и их отношений. Параметр — это величина, характеризующая свойство или режим работы объекта. Выходные параметры характеризуют свойства технического объекта, а внутренние параметры — свойства его элементов. Внешние параметры — это параметры внешней Среды, оказывающей влияние на функционирование технического объекта.

К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы.

В зависимости от степени абстрагирования при описании физических свойств технической системы различают три основных иерархических уровня: верхний или метауровень, средний или макроуровень, нижний или микроуровень.

Метауровень соответствует начальным стадиям проектирования, на которых осуществляется научно-техничекский1 поиск и прогнозирование, разработка концепции и технического решения, разработка технического предложения. Для построения математических моделей метауровня используют методы морфологического синтеза, теории графов, математической логики, теории автоматического управления, теории массового обслуживания, теории конечных автоматов.

На макроуровне объект рассматривается как динамическая система с сосредоточенными параметрами. Математические модели макроуровня представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти модели используют при определении параметров технического объекта и его функциональных элементов.

На микроуровне объект представляется как сплошная Среда с распределенными параметрами. Для описания процессов функционирования таких объектов используют дифференциальные уравнения в частных производных. На микроуровне проектируют неделимые по функциональному признаку элементы технической системы, называемые базовыми элементами. При этом базовый элемент рассматривается как система, состоящая из множества однотипных функциональных элементов одной и той же физической природы, взаимодействующих между собой и находящихся под воздействием внешней Среды и других элементов технического объекта, являющихся внешней средой по отношению к базовому элементу.

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений вне связи с методом решения этих уравнений.

В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма — последовательности вычислений. Среди алгоритмических моделей выделяют имитационные , модели предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании под воздействием различных факторов внешней среды.

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров).

Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений. Аналитические математические модели позволяют легко и просто решать задачи определения оптимальных параметров. Поэтому, если представляется возможность получения модели в таком виде, ее всегда целесообразно реализовать, даже если при этом придется выполнить ряд вспомогательных процедур, Такие модели обычно получают методом планирования эксперимента (вычислительного или физического).

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т.п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.

Деление математических моделей на функциональные и структурные определяется характером отображаемых свойств технического объекта.

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются только при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими перемененными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа И-ИЛИ-дерева. Такие модели широко используют на метауровне при выборе технического решения.

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза. Их широко используют на всех уровнях проектирования. На метауровне функциональные задачи позволяют решать задачи прогнозирования, на макроуровне — выбора структуры и оптимизации внутренних параметров технического объекта, на микроуровне — оптимизации параметров базовых элементов.

ПО способам получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные.

Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные — на основе поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как “черный ящик”. Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели).

При построении теоретических моделей используется физический и формальный подходы.

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа и т.д.

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей. Экспериментальные модели — формальные. Они не учитывают всего комплекса физических свойств элементов исследуемой технической системы, а лишь устанавливают обнаруживаемую в процессе эксперимента связь между отдельными параметрами системы, которые удается варьировать и (или) осуществлять их измерение. Такие модели дают адекватное описание исследуемых процессов лишь в ограниченной области пространства параметров, в которой осуществлялось варьирование параметров в эксперименте. Поэтому экспериментальные математические модели носят частный характер, в то время как физические законы отражают общие закономерности явлений и процессов, протекающих как во всей технической системе, так и в каждом ее элементе в отдельности. Следовательно, экспериментальные математические модели не могут быть приняты в качестве физических законов. Вместе с тем методы, применяемые для построения этих моделей широко используются при проверке научных гипотез.

Функциональные математические модели могут быть линейные и нелинейные. Линейные модели содержат только линейные функции величин, характеризующих состояние объекта при его функционировании, и их производных. Характеристики многих элементов реальных объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции этих величин и их производных и относятся к нелинейным .

Если при моделировании учитываются инерционные свойства объекта и (или) изменение во времени объекта или внешней Среды, то модель называют динамической . В противном случае модель — статическая . Математическое представление динамической модели в общем случае может быть выражено системой дифференциальных уравнений, а статической — системой алгебраических уравнений.

Если воздействие внешней Среды на объект носит случайный характер и описывается случайными функциями. В этом случае требуется построение вероятностной математической модели. Однако такая модель весьма сложная и ее использование при проектировании технических объектов требует больших затрат машинного времени. Поэтому ее применяют на заключительном этапе проектирования.

Большинство проектных процедур выполняется на детерминированных моделях. Детерминированная математическая модель характеризуется взаимно однозначным соответствием между внешним воздействием на динамическую систему и ее реакцией на это воздействие. В вычислительном эксперименте при проектировании обычно задают некоторые стандартные типовые воздействия на объект: ступенчатые, импульсные, гармонические, кусочно-линейные, экспоненциальные и др. Их называют тестовыми воздействиями.

Продолжение Таблицы “Классификация математических моделей

Виды математических моделей технических объектов
По учету физических свойств ТО		По способности прогнозирования результатов
Динамические		Детерминированные
Статические		Вероятностные
Непрерывные
Дискретные
Линейные
Нелинейные

На этом этапе выполняются следующие действия.

Составляется план создания и использования программной модели. Как правило, программа модели создается с помощью средств автоматизации моделирования на ЭВМ. Поэтому в плане указываются: тип ЭВМ; средство автоматизации моделирования; примерные затраты памяти ЭВМ на создание программы модели и ее рабочих массивов; затраты машинного времени на один цикл работы модели; оценки затрат на программирование и отладку программы модели.

Затем исследователь приступает к программированию модели. В качестве технического задания на программирование служит описание имитационной модели. Специфика работ по программированию модели зависит от средств автоматизации моделирования, которые доступны исследователю. Не существует значительных отличий создания программы модели от обычной автономной отладки программных модулей большой программы или пакета программ, В соответствии с текстом производится деление модели на блоки и подблоки. В отличие от обычной автономной отладки программных модулей, при автономной отладке блоков и подблоков программной модели объем работ существенно увеличивается, поскольку для каждого модуля необходимо создать и отладить еще имитатор внешнего окружения. Весьма существенно выверить реализацию функций модуля в модельном времени t и оценить затраты машинного времени на один цикл работы модели как функцию от значений параметров модели. Завершаются работы при автономной отладке компонент модели подготовкой форм представления входных и выходных данных моделирования.

Далее переходят ко второй проверке достоверности программы модели системы. В процессе этой проверки устанавливается соответствие операций в программе и описании модели. Для этого производится обратный перевод программы в схему модели (ручная «прокрутка» позволяет найти грубые ошибки статики модели) .

После исключения грубых ошибок ряд блоков объединяется и начинается комплексная отладка модели с использованием тестов. Отладка по тестам начинается с нескольких блоков, затем в этот процесс вовлекается все большее число блоков модели. Отметим, что комплексная отладка программы модели намного сложнее отладки пакетов прикладных программ, поскольку ошибки динамики моделирования в этом случае найти значительно труднее вследствие квазипараллельной работы различных компонент модели. По завершении комплексной отладки программы модели необходимо вновь оценить затраты машинного времени на один цикл расчетов на модели. При этом полезно получить аппроксимацию времени моделирования на один цикл имитации.

Следующим действием является составление технической документации на модель сложной системы. Результатом этапа к моменту окончания комплексной отладки программы модели должны быть следующие документы:

• описание имитационной модели;
• описание программы модели с указанием системы программирования и принятых обозначений;
• полная схема программы модели;
• полная запись программы модели на языке моделирования;
• доказательство достоверности программы модели (результаты комплексной отладки программы модели);
• описание входных и выходных величин с необходимыми пояснениями (размерностей, масштабов, диапазонов изменения величин, обозначений);
• оценка затрат машинного времени на один цикл моделирования;
• инструкция по работе с программой модели.

Для проверки адекватности модели объекту исследования после составления формального описания системы исследователь составляет план проведения натурных экспериментов с прототипом системы. Если прототип системы отсутствует, то можно использовать систему вложенных ИМ, отличающихся друг от друга степенью детализации имитации одних и тех же явлений. Тогда более детальная модель служит в качестве прототипа для обобщенной ИМ. Если же построить такую последовательность невозможно либо из-за отсутствия ресурсов на выполнение этой работы, либо из-за недостаточности информации, то обходятся без проверки адекватности ИМ. Согласно этому плану параллельно с отладкой ИМ осуществляется серия натурных экспериментов на реальной системе, в ходе которых накапливаются контрольные результаты. Имея в своем распоряжении контрольные результаты и результаты испытаний ИМ, исследователь проверяет адекватность модели объекту.

При обнаружении ошибок на этапе отладки, устранимых только на предыдущих этапах, может иметь место возврат на предыдущий этап. Кроме технической документации к результатам этапа прилагается машинная реализация модели (программа, оттранслированная в машинном коде ЭВМ, на которой будет происходить имитация).

Это важный этап создания модели. При этом необходимо выполнить следующее. Во-первых, убедиться в правильности динамики развития алгоритма моделирования объекта исследования в ходе имитации его функционирования (провести верификацию модели).

Во-вторых, определить степень адекватности модели и объекта исследования. Под адекватностью программной имитационной модели реальному объекту понимают совпадение с заданной точностью векторов характеристик поведения объекта и модели. При отсутствии адекватности проводят калибровку имитационной модели («подправляют» характеристики алгоритмов компонент модели).

Наличие ошибок во взаимодействии компонент модели возвращает исследователя к этапу создания имитационной модели. Возможно, что в ходе формализации исследователь слишком упростил физические явления, исключил из рассмотрения ряд важных сторон функционирования системы, что привело к неадекватности модели объекту. В этом случае исследователь должен вернуться к этапу формализации системы. В тех случаях, когда выбор способа формализации оказался неудачным, исследователю необходимо повторить этап составления концептуальной модели с учетом новой информации и появившегося опыта. Наконец, когда у исследователя оказалось недостаточно информации об объекте, он должен вернуться к этапу составления содержательного описания системы и уточнить его с учетом результатов испытания предыдущей модели системы.

При этом оцениваются точность имитации явлений, устойчивость результатов моделирования, чувствительность критериев качества к изменению параметров модели. Получить эти оценки в ряде случаев бывает весьма сложно. Однако без успешных результатов этой работы доверия к модели не будет ни у разработчика, ни у заказчика ИМ. У разных исследователей в зависимости от вида ИМ сложились различные интерпретации понятий точности, устойчивости, стационарности, чувствительности ИМ. Пока не существует общепринятой теории имитации явлений на ЭВМ. Каждому исследователю приходится полагаться на свой опыт организации имитации и на свое понимание особенностей объекта моделирования.

Точность имитации явлений представляет собой оценку влияния стохастических элементов на функционирование модели сложной системы.

Устойчивость результатов моделирования характеризуется сходимостью контролируемого параметра моделирования к определенной величине при увеличении времени моделирования варианта сложной системы.

Стационарность режима моделирования характеризует собой некоторое установившееся равновесие процессов в модели системы, когда дальнейшая имитация бессмысленна, поскольку новой информации из модели исследователь не получит и продолжение имитации практически приводит только к увеличению затрат машинного времени. Такую возможность необходимо предусмотреть и разработать способ определения момента достижения стационарного режима моделирования. Чувствительность ИМ представляется величиной минимального приращения выбранного критерия качества, вычисляемого по статистикам моделирования, при последовательном варьировании параметров моделирования на всем диапазоне их изменений.

Этот этап начинается с составления плана эксперимента, позволяющего исследователю получить максимум информации при минимальных усилиях на вычисление. Обязательно статистическое обоснование плана эксперимента. Планирование эксперимента представляет собой процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом существенно следующее: стремление к минимизации общего числа опытов, обеспечение возможности одновременного варьирования всеми переменными; использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментаторов; выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов на модели.

Затем исследователь приступает к проведению рабочих расчетов на модели. Это весьма трудоемкий процесс, требующий больших затрат ресурса ЭВМ и обилия канцелярской работы. Отметим, что уже на ранних этапах создания ИМ необходимо тщательно продумывать состав и объемы информации моделирования, чтобы существенно облегчить дальнейший анализ результатов имитации. Итогом работы являются результаты моделирования.

Данный этап завершает технологическую цепочку этапов создания и использования имитационных моделей. Получив результаты моделирования, исследователь приступает к интерпретации результатов. Здесь возможны следующие циклы имитации. В первом цикле имитационного эксперимента в ИМ заранее предусмотрен выбор вариантов исследуемой системы путем задания начальных условий имитации для машинной программы модели. Во втором цикле имитационного эксперимента модель модифицируется на языке моделирования, и поэтому требуются повторная трансляция и редактирование программы.

Возможно, что в ходе интерпретации результатов исследователь установил наличие ошибок либо при создании модели, либо при формализации объекта моделирования. В этих случаях осуществляется возврат на этапы построения описания имитационной модели или на составление концептуальной модели системы соответственно.

Результатом этапа интерпретации результатов моделирования являются рекомендации по проектированию системы или ее модификации. Имея в своем распоряжении рекомендации, исследователи приступают к принятию проектных решений. На интерпретацию результатов моделирования оказывают существенное влияние изобразительные возможности используемой ЭВМ и реализованной на ней системы моделирования.

1. Как проводится классификация математических моделей на основе особенностей применяемого математического аппарата.

2. Как различаются математические модели по форме представления.

3. Что такое алгоритмические модели.

4. В чем разница между теоретическими и экспериментальными функциональными математическими моделями.

5. Назовите виды математических моделей технических объектов.

6. В чем состоит смысл программирования при разработке имитационной модели.

7. Как проводится испытание модели.

Попробуйте разработать алгоритмическую модель равноускоренного движения материальной точки.