Элементы теории вероятности

Реферат

Понятие вероятности события

вероятность событие бернулли математический

Вероямтность — степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Термин «вероятность» употребляется также как синоним «возможности», что является не совсем корректным. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — невероятным или маловероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей или меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Так, например, в юриспруденции, когда подлежащий суду факт устанавливается на основании свидетельских показаний, он всегда остаётся, строго говоря, лишь вероятным, и необходимо знать, насколько эта вероятность значительна. В римском праве здесь принималось четверное деление: probatio plena (где вероятность практически переходит в достоверность), далее — probatio minus plena, затем — probatio semiplena major и, наконец, probatio semiplena minor Необходимо отметить что в римском языке слово вероятность этимологически родственно слову честность. Возможны и любые иные градации «уровней» вероятности.

Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину — теорию вероятностей. В теории вероятностей и математической статистике понятие вероятности формализуется как числовая характеристика события — вероятностная мера (или её значение) — мера на множестве событий (подмножеств множества элементарных событий), принимающая значения от до . Значение соответствует достоверному событию. Невозможное событие имеет вероятность 0 (обратное вообще говоря не всегда верно).

Если вероятность наступления события равна , то вероятность её не наступления равна . В частности, вероятность означает равную вероятность наступления и не наступления события.

Если имеется априорная информация о некотором количестве равновозможных вариантов исходов опыта (наблюдения) , из которых вариантов выражают событие , то отношение — это и есть вероятность события . Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место и они являются равновозможными. Аналогично вероятность выпадения некоторой цифры на кубике равна 1/6 (6-это число равновозможных вариантов выпадения сторон кубика).

5 стр., 2403 слов

Октябрь 1917г.: величайшее событие века или социальная катастрофа

... До сих пор в литературе не утихают споры, был ли Октябрь 1917 г. величайшим событием 20 в. или трагедией? Оценки Октябрьской революции более многочисленны и противоречивы, чем Февральской ... 57% населения России; Стремление Временного правительства к силовому, преимущественно военному, решению острых социальных вопросов, введение смертной казни на фронте обусловило его политическую изоляцию. Три ...

Данное классическое «определение» вероятности можно обобщить на случай бесконечного количества возможных значений — например, если некоторое событие может произойти с равной вероятностью в любой точке (количество точек бесконечно) некоторой ограниченной области пространства (плоскости), то вероятность того, что некоторое событие произойдет в некоторой части этой допустимой области (плоскости) равна отношению объёма (площади) этой части к объёму (площади) области всех возможных точек.

На практике истинная вероятность событий может быть неизвестна (чаще всего), поэтому её оценивают на основе статистических данных (наблюдений, данных экспериментов).

Оценкой вероятности события в простейшем случае выступает частота его наступления. При этом качество полученной оценки (степень близости к истинному значению вероятности) зависит от условий сбора статистических данных, в частности, обычно предполагается независимость, однородность и достаточно большое количество наблюдений (объем выборки).

Однородность означает, что наблюдаемые события порождаются одним и тем же процессом в одних и тех же условиях.

Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в эконометрике, статистической физике макроскопических (термодинамических) систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу.

1.1 История

вероятность бернулли математический

Первые работы по теории вероятностей появились в связи с необходимостью подсчёта различных вероятностей в азартных играх. До появления понятия вероятности формулировались в основном комбинаторные задачи подсчета числа возможных исходов при бросании нескольких костей, а также задача раздела ставки между игроками, когда игра закончена досрочно. Первую задачу при бросании трех костей «решил» в 960 году епископ Виболд из г. Камбрэ. Он насчитал 56 вариантов. Однако это количество по сути не отражает количество равновероятных возможностей, поскольку каждый из 56 вариантов может реализоваться разным количеством способов. В первой половине 13 века эти аспекты учел Ричард Форниваль. Несмотря на то, что у него тоже фигурирует число 56, но он в рассуждениях учитывает, что, например, «одинаковое количество очков на трех костях можно получить шестью способами». Основываясь на его рассуждениях уже можно установить, что число равновозможных вариантов — 216. В дальнейшем многие не совсем верно решали эту задачу.

Задачи второго типа в конце 15 века сформулировал и предложил первое (вообще говоря ошибочное) Лука Пачоли. Его решение заключалось в делении ставки пропорционально уже выигранным партиям. Существенное дальнейшее продвижение в начале 16 века связано с именами итальянских ученых Джероламо Кардано и Н. Тарталья. Кардано дал правильный подсчет количества случаев при бросании двух костей (36).

14 стр., 6535 слов

Особенности повреждений челюстных костей и мягких тканей челюстно-лицевой ...

... манифестацию в процессе лечения повреждений мягких тканей лица и челюстных костей. Анатомо-топографические особенности строения ЧЛО у детей (эластичная кожа, большой объем клетчатки, хорошо ... исход. Раны ЧЛО часто проявляются как сочетанные и множественные. При множественных и сочетанных черепно-челюстно-лицевых повреждениях могут наблюдаться признаки черепно-мозговой травмы и переломов костей ...

Он также впервые соотнес количество случаев выпадения некоторого числа хотя бы на одной кости (11) к общему числу исходов (что соответствует классическому определению вероятности) — 11/36. Аналогично и для трех костей он рассматривал, например, что девять очков может получиться количеством способов, равным 1/9 «всей серии» (то есть общего количества равновозможных исходов — 216).

Кардано формально не вводил понятие вероятности, но по существу рассматривал относительное количество исходов, что по сути эквивалентно рассмотрению вероятностей. Необходимо также отметить, что в зачаточном состоянии у Кардано можно найти также идеи, связанные с законом больших чисел. По поводу задачи деления ставки Кардано предлагал учитывать количество оставшихся партий, которые надо выиграть. Н. Тарталья также сделал замечания по поводу решения Луки и предложил свое, тоже вообще говоря, ошибочное.

Впервые четко количество равновозможных исходов при подбрасывании трех костей подсчитал Галилео Галилей, возводя шестерку (количество вариантов выпадения одной кости) в степень 3 (количество костей): 6^3=216. Он же составил таблицы количества способов получения различных сумм очков. Заслуга Галилея также заключается в расширении области исследований на область ошибок наблюдений. Он впервые указал на неизбежность ошибок и классифицировал их на систематические и случайные (такая классификация применяется и сейчас).

Первые работы об учении о вероятности относится к 17 веку. Такие как переписка французских учёных Б. Паскаля, П. Ферма (1654 год) и голландского учёного X. Гюйгенса (1657 год) давшего самую раннюю из известных научных трактовок вероятности. По существу Гюйгенс уже оперировал понятием математического ожидания. Швейцарский математик Я. Бернулли, установил закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (посмертно, 1713 год).

В XVIII в. — начале ХIХ в. теория вероятностей получает развитие в работах А. Муавра (Англия)(1718 год), П. Лаплас (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция).

Теория вероятностей начинает применяться в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы. Необходимо отметить, что закон распределения ошибок по сути предложил Лаплас сначала как экспоненциальная зависимость от ошибки без учета знака (в 1774 год), затем как экспоненциальную функцию квадрата ошибки (в 1778 году).

Последний закон обычно называют распределением Гаусса или нормальным распределением. Бернулли (1778 год) ввел принцип произведения вероятностей одновременных событий. Адриен Мари Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов.

Во второй половине XIX в. развитие теории вероятностей связано с работами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего), а также работы по математической статистике А. Кетле (Бельгия) и Ф. Гальтона(Англия) и статистической физике Л. Больцмана (в Австрия), которые создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей. Наиболее распространённая в настоящее время логическая (аксиоматическая) схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым.

2. Свойства вероятностей событий

6 стр., 2592 слов

По мат.моделированию «Базовые принципы математического моделирования»

... преимуществом является большая универсальность этой модели: путем ее изменения можно отобразить различные процессы данного явления. Математическая модель Математическая модель является самой сложной и наиболее ... описание исходной задачи, выбираемый язык, критерии и ограничения, аппарат адекватности модели, средства интерпретации и подготовки к практическому внедрению, способы внемодельного ...

2.1 Зависимые и независимые события. Условные вероятности

Событие В называется зависимым от события A, если вероятность его появления или непоявления зависит от появления или непоявления события A.

Определение Условной вероятностью события В называется вероятность, вычисленнная в предположении, что событие А произошло

Для условных вероятностей справедливы все 4 аксиомы и все следствия.

2.2 Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного появления двух событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии, что первое произошло.

P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)

Доказательство. По классическому определению вероятности одновременного появления (любых) двух событий (А и В) она равна отношению количества случаев, в которых эта пара появлялась, к общему количеству равновозможных элементарных случаев. Пример — четное число на грани игральной кости (nAB/ n)

Отсюда можно сформулировать:

Зависимы те события, для которых Р(В) не равно Р(А/В).

Независимы те события, для которых Р(В) = Р(А/В).

Следствие 1

Если появление события В не зависит от появления события А, то и появление события А не зависит от события В:

  • Р(В) = Р(В/А);
  • Р(АВ) = Р(А)xР(В/А) = Р(В)xР(А/В);
  • Р(А) = Р(А/В).

Следствие 2

Если события А и В независимы, то вероятность их совместного появления равнася произпроизведению их вероятностей

Р(АxВ) = Р(А)xР(В).

Следствие 3

Для любого числа независимых событий А1, А2 , А3 , …

Р(А1xА2xА3x…) = Р(А1)xР(А2)xР(А3)x…

Примеры на использование аксиом и теоремы умножения

Определить вероятность поражения цели двумя ракетами , если вероятность поражения каждой равна 0,9 . Поражение первой (событие А) и второй ракетой (событие В) есть события независимые.

Событие «поражение цели двумя ракетами » есть сумма А+В. Представим ее в виде трех несовместных событий

Согласно аксиоме сложения вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей каждого. Тогда

Согласно следствию 1 из аксиомы 4 вероятность противоположного события равна 1 за вычетом вероятности прямого события

;

а согласно теореме умножения для независимых событий их совместное появление равно произведению вероятностей

Подставляя числовые значения, получим

Можно решить эту задачу иначе. Непоражение цели есть событие противоположное событию А+В, то-есть

и тогда

Используя следствие 1, получим тот же результат.

1. Вероятность достоверного события равна единице.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Вывод: вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Относительной частотой события

Относительная частота события определяется формулой

где — число испытаний, в которых событие появилось, а — общее число фактически произведенных испытаний.

19 стр., 9347 слов

«Величины и её измерения»

... его величина, численное значение величины, единица величины - надо уметь вычленять в текстах и задачах. Например, математическое содержание ... проблему и эти трудности проблемной ситуации в зависимости от интеллектуальных возможностей. Проблемное обучение включает несколько ... возможности решать задачу при наличии затруднения противоречия между старым и новым, известным и неизвестным, данным ...

Основное отличие вероятности события от относительной частоты: вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту — после опыта.

Свойство устойчивости относительной частоты:

3. Относительная частота события

Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов W(A)=m/n .

Замечание:, Пример 1.

Решение:

Т.к. из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна:

При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события, т.е.P(A)=lim W(A) .

4. Условная вероятность. Независимые события

Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

В противном случае события являются зависимыми. Условной вероятностью события B при наличии A называется величина

(2.8)

(при этом полагается, что P(A) не равно 0).

Условную вероятность события P(B/A) можно трактовать как вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло.

Заметим, что если имеется несколько событий A 1 , A2 , …, An , то их попарная независимость (т.е. независимость любых двух событий Ai и Aj , i?j) еще не означает их независимости в совокупности.

5. Математическое ожидание

Математимческое ожидамние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины рассматривается в теории вероятностей. В англоязычной литературе обозначается через , в русской — . В статистике часто используют обозначение .

Определение , Пусть задано

Основные формулы для математического ожидания

Если — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

Математическое ожидание дискретного распределения

  • Если — дискретная случайная величина, имеющая распределение

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

Математическое ожидание целочисленной величины

  • Если — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности

как значение первой производной в единице: . Если математическое ожидание бесконечно, то и мы будем писать

Теперь возьмём производящую функцию последовательности «хвостов» распределения

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией свойством:

при .

Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

  • Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью , равно

Математическое ожидание случайного вектора

5 стр., 2356 слов

Математические методы в социологии

... развития математической социологии в русле компьютационной тенденции связаны с автоматической разработкой формальных теорий. В частности, разработкой формальных теорий на основе аксиоматического метода с ... группировок являются таблицы. В доступной форме они передают то содержание, которое не воспринимается в словесном изложении. Средние величины в социологии. Реальная оценка какого-либо ...

Пусть — случайный вектор. Тогда по определению

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть — борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

  • если имеет дискретное распределение;
  • если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение случайной величины общего вида, то

В специальном случае, когда , Математическое ожидание называется -тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

  • Математическое ожидание числа есть само число.

— константа;

  • Математическое ожидание линейно, то есть

где — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а — произвольные константы;

  • Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если почти наверное, и — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины также конечно, и более того

;

  • Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверное, то

  • Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

6. Формула Бернулли. Закон больших чисел

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Формулировка

Теорема: Если Вероятность p наступления события Б в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: , где .

Доказательство

Пусть проводится независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие наступает с вероятностью и, следовательно, не наступает с вероятностью . Пусть, так же, в ходе испытаний вероятности и остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате независимых испытаний, событие наступит ровно раз?

Оказывается можно точно подсчитать число «удачных» комбинаций исходов испытаний, для которых событие наступает раз в независимых испытаниях, — в точности это количество сочетаний из по :

20 стр., 9523 слов

Построение математической модели и проверка ее адекватности с ...

... влияния технологических факторов на рассматриваемый процесс, а также для проверки адекватности разработанных математических моделей. 1.1 Технологическое оборудование Для проведения экспериментальных исследований процесса точения ... Стьюдента: ,( 1.2 ) где t (P,m )-критерий Стьюдента, P- доверительная вероятность, S - оценка стандартного отклонения погрешностей эксперимента: (1.3) Если условие 1.2 ...

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместны (событие либо наступает, либо нет), то вероятность получения «удачной» комбинации в точности равна: .

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз, нужно сложить вероятности получения всех «удачных» комбинаций. Вероятности получения всех «удачных» комбинаций одинаковы и равны , количество «удачных» комбинаций равно , поэтому окончательно получаем:

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно так же заметить, что в в силу полноты группы событий, будет справедливо: