Введение
В конце шестидесятых начале семидесятых годов прошлого столетия Рене Том и Кристофер Зиман обозначили новое направление рассуждений по поводу дальнейшего развития общества. Данная теория была ими названа «теорией катастроф». В предложенной системе координат движения общества как математической модели понятие «катастрофа» означает резкое качественное изменение объекта при плавном количественном изменении параметров, от которых он зависит. Самой главной задачей теории катастроф
является нахождение и наблюдение за формой исследуемого объекта (дифференциального уравнения или отображения), причем необходимо понимать, что данный объект рассматривается в окрестностях «точки катастрофы», на этой основе выстраивается классификация объектов, а далее делается прогноз разных направлений развития ситуации. Другими словами моделируется ситуация возможного развития после определенной «катастрофы». Даже если нельзя чего-то исправить, то необходимо и возможно смягчить последствия любой «катастрофы», либо быть готовым к ее проявлениям. Выводы были сделаны и сформулированы Р. Томом и К. Зиманом на основе математических исследований и открытий.
Для обсуждения научным сообществом Р. Томом было предложено семь элементарных катастроф. Теория катастроф классифицируется по двум заданным параметрам. В первом случае берется потенциальная функция с одной активной переменной и катастрофы классифицируются по четырем типам: «складка», «сборка», «ласточкин хвост», «бабочка». В другом случае рассматриваются потенциальные функции с двумя активными переменными, классификация катастроф соответственно следующая: гиперболическая омбилика, эллиптическая омбилика и параболическая омбилика. Таким образом, катастроф семь. В нашем исследовании нас интересует математическая модель катастроф «сборка», ее значение и использование в социологии в целом. Задача выявить важность знания закона развития данной катастрофы для социологии, оценить все плюсы и минусы ситуации.
Математическая модель катастрофы «сборка»
Начало фундаментальных исследований в области динамических систем, на основании которых была в дальнейшем выстроена теория «катастроф» было положено математиком А. Пуанкаре. Он предложил исследовать метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений. А.А. Андронов ввел термин «бифуркация динамических систем» (бифуркация – раздвоение, употребляется для обозначения всевозможных качественных перестроек или метаморфоз различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят).
Этапы развития личности в теории З. Фрейда
... На основе общих тезисов психоанализа 3. Фрейд сформулировал идеи генеза детской психики и детской личности: стадии детского развития соответствуют стадиям перемещения зон, в которых находит ... роль в качестве воспитателей, социализаторов ребенка. Особенности характера, формирующиеся на анальной стадии, по мнению психоаналитиков, - аккуратность, опрятность, пунктуальность. 3. Фаллическая фаза Между ...
К. Зиман своими публикациями активно пропагандировал идею Р. Тома о теории катастроф, сравнивая ее значение с изобретением математического анализа и говоря о «революции в математике». Эта теория достаточно быстро приобрела широкую популярность. Ее развитием и анализом занимались многие известные ученые: Дж. Боардман, Е. Брискорн, Дж. Брюс, Дж. Мазер, Б. Мальгранж, Т. Волл и другие. Основная и полная характеристика теории катастроф описана в работе В. И. Арнольда «Теория катастроф»1 и работах его учеников.
Суть теории катастроф (катастрофа – скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий) заключается в следующем: она занимается анализом состояния критических точек (репетиций) потенциальной функции. Утверждается и доказывается, что есть такие точки, где не только первая производная функции равна нулю, но также равны нулю ее производные более высокого порядка. Динамику развития этих точек предлагается изучать при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора путем малых изменений входных параметров. Делается вывод на основе анализа: точки роста складываются не просто в случайный узор, а формируют структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, высокий уровень катастрофичности они имеют в окружающих их областях фазового пространства. «Катастрофами» в математике называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Если потенциальная функция имеет три или меньшее число активных переменных, или пять и менее активных параметров, то возможно смоделировать семь обобщенных структур описанных геометрий бифуркаций. Сейчас эти семь фундаментальных типов катастроф известны под именами, которые им дал еще Рене Том — «складка», «сборка», «ласточкин хвост», «бабочка», гиперболическая омбилика, эллиптическая омбилика и параболическая омбилика.
В. И. Арнольд предлагает более расширенную классификацию катастроф, использующую глубокие связи с теорией групп Ли: A0 — несингулярная точка; A1 — локальный экстремум: устойчивый минимум или неустойчивый максимум; A2 — складка; A3 — сборка; A4 — ласточкин хвост; A5 — бабочка; Ak — бесконечная последовательность форм от одной переменной; D4+ — кошелёк = гиперболическая омбилика; D4- — пирамида = эллиптическая омбилика; D5 — параболическая омбилика; Dk — бесконечная последовательность других омбилик; E6 — символическая омбилика; E7; E8.
Применение математической теории катастроф возможно в разных областях науки. Теория катастроф как часть математического анализа позволила увидеть широкие возможности для наглядного анализа многих сложных явлений, которые встречаются при описании самых разных естественных явлений. Радуга, устойчивость сложных систем, каустика, разрушение и колебания в строительной механике, поведение в этологии, и даже бунты в тюрьмах, все это явления наглядно доказывают выводы теории катастроф и тем самым подтверждают ее право на существование и дальнейшее развитие, практическое применение.
Например, исследователи в области системной экологии Дулепов В.И., Лескова О.А., Майоров И.С. хотя и подчеркивают сложность применения моделей, основанных на теории катастроф, которые привлекают стройностью своей теории и наглядностью изображения, но тем не менее, не сомневаются, что в ближайшем будущем эти модели получат дальнейшее развитие и применение при оценке параметров многообразий по экологическим данным2.
Взгляды на конфликт в теории трансактного анализа (Э. Берн)
... [3] Глава 2. Конфликт в транзактном анализе Конфликт прежде всего является взаимодействием людей. Соответственно, чтобы понять, что является конфликтом в транзактном анализе, необходимо для начала ознакомиться со специальной терминологией, которая в теории Э. Берна обозначает события, происходящие ...
Были также в 20 веке сделаны попытки применять теорию катастроф к всевозможным разнообразным объектам, таких как исследования биений сердца, физической и геометрической оптики, эмбрионов, лингвистики, экспериментальной психологии, экономики (кризисы!), гидродинамики, геологии и теории элементарных частиц. Исследовалась с помощью доказательств теории катастроф устойчивость кораблей, проводилось моделирование деятельности мозга и психических расстройств, в социальной сфере анализировались восстания заключенных в тюрьмах, поведение биржевых игроков, влияние алкоголя на водителей и прочее3.
В математике расклассифицированы различные виды катастроф. Самая простая из них – «складка». Потом — «сборка», затем идут уже более сложные катастрофы, «бабочка» и так далее. Всего их 20. И каждая из них обладает своими особенностями. Общее же свойство всех катастроф – резкое «падение» (неожиданное и резкое изменение ситуации), казалось бы, непредвиденное.
В 1955 году американский математик Хасслер Уитни публикует свою работу «Об отображениях плоскости на плоскость». В ней он доказывает особенности отображения гладких тел на плоскости. Он доказывает, что сборка имеет в отличие от складки устойчивый характер. Поскольку гладкие отображения встречаются везде, следовательно, повсеместно встречаются и их особенности. Арнольд в своей работе «Теория катастроф» ярко описывает пример с ученым: гений – маньяк. Оси координат имеют наименование: техника, увлеченность, достижения. Дает заключения творческой личности, указывает математическую закономерность этих составляющих. Арнольд исследует процесс изменения достижений ученого в зависимости от его техники и увлеченности.
Развороты «зонтика» показывают траекторию дальнейшего развития ситуаций:
Уитни первый начал систематическое исследование возможностей классификации особенностей не только (и не столько) функций, а произвольных отображений евклидовых пространств. При изучении отображений плоскости в плоскость он и открыл сборку. Основные разработанные до сих пор модели применения теории катастроф относятся как раз к сборке Уитни, в том числе и все модели, описываемые ниже. В качестве внутренней переменной возьмем субъективную оценку скорости. Истинная скорость автомобиля пусть будет первым внешним параметром, который назовем нормальным, так как его увеличение ведет, вообще говоря, к увеличению внутренней переменной (если нет перескоков).
За второй параметр возьмем степень интровертированности, назовем его расщепляющим, так как при его увеличении одномодальное распределение заменяется бимодальным. Нас, кстати, сейчас интересуют максимумы, а не минимумы, так что мы должны перевернуть сборку вверх ногами. Рассмотрим сечение сборки при фиксированном значении, достаточно большом, чтобы распределение стало заметно бимодальным. Будем считать, что при малых скоростях, как и при очень больших, субъективная оценка достаточно точна, но при средней скорости, близкой к обычной, водитель вообще не сможет добиться субъективного ощущения, отвечающего ей. Он будет получать то внезапное ощущение слишком большой скорости, то, пытаясь исправиться, внезапно получит ощущение слишком медленной езды. Более привычный к алкоголю водитель будет ехать на грани этого неприятного ощущения перескока, т. е. вблизи одной из сторон полукубической параболы, что и объясняет тот факт, что в 5%-ной окрестности, подобранной по методу наименьших квадратов полукубической параболы, лежит половина всех точек.
Теория развития общества
... Парсонса строится на основе теории на основе мыслительной модели структур ... обратная инверсия. Развитие представляет собой поиск постоянного компромисса между этими полюсами, более удачный – в период развития страны и менее удачный – в период катастроф. Теория социального изменения Т. ...
Следует заметить, что этот эксперимент был проведен независимо от анализа его с точки зрения теории катастроф. В частности, нельзя ожидать, что параметр k имеет одно и то же значение для всех людей (хотя можно ожидать, что он как-то характеризует
Это замечание показывает, что, хотя теория катастроф имеет своей целью главным образом качественное описание, она может дать и количественные оценки. Следует отметить, что сборка Уитни, по-видимому, достаточно часто присутствует в психологических явлениях4.
Для катастрофы «сборка» обычно дается такой важный комментарий. Для наглядности приводится пример с горнолыжником. Пологий склон — спуск ничего не подозревающего лыжника, который, набирает скорость и не подозревает о нависшем козырьке снега над пропастью (он о нем не знает).
Когда же он его уже видит — поздно, наступает «хаос», паника, он падает в пропасть. Хотя, если бы он знал про нависший козырек снега, то прогноз был бы иной, катастрофу можно было бы предупредить. Тот же козырек нависшего снега. Но общий характер снежного склона теперь уже иной. Снежный козырек (если продолжать рисовать картинки и показывать их) образовался в данном месте, а вот здесь, сбоку, этот козырек постепенно и плавно сходит на нет. И здесь, если знать заранее про опасный козырек, лыжник мог бы повернуть, объехать опасность, спокойно перейти в то же самое конечное состояние, но уже безо всякого падения, без нервозности, так, как это и полагается настоящему, опытному горнолыжнику. Можно ли было что-нибудь сделать для смягчения назревающей беды? Что должны были предпринять экономисты и математики? Нарисовать модель и доходчиво пояснить как при мягком варианте развития событий горнолыжник вообще не может упасть или же с минимальными потерями и травмами.
Конечно, момент, когда лыжник свалится, объективно строго определен, и «со стороны» прекрасно виден. Идеальный внешний наблюдатель (экономист, политик, социолог и т.д.) должны многими знаниями обладать. Как утверждают математики, существуют объективные законы функционирования сложных нелинейных систем, их надо знать, и затевать перестройки, не считаясь с этими законами, нельзя. Также как нельзя игнорировать и законы природы и общества (будь то закон тяготения или закон стоимости).
Ибо падение компетентности специалистов и отсутствие личной ответственности за принимаемые решения рано или поздно обязательно приведет к катастрофе.
Итак, математики предупреждали о потерях, ухудшении, жертвах. Однако все эти рассуждения казались абстракциями, рожденными математической мыслью и воображением. Мы привыкли к стабильности и постоянству. Мы ступаем по твердой поверхности Земли и верим, что она всегда будет служить нам опорой. Мы знаем, что вслед за зимой придет лето, станет тепло и солнечно, и так будет всегда. Мы думаем, что мир вокруг нас не может внезапно измениться, и, исходя из этого, формируем свой образ жизни и приоритеты, планируем свои действия5.
Совершенствование опыта работы служб по оказанию помощи детям ...
... Интернет. Структура работы. Дипломный проект представлен тремя главами, последовательно раскрывающими теоретические и практические аспекты работы служб по оказанию помощи детям и подросткам в случае жестокого обращения с ними. В ... -первых, право на выживание включает права ребенка на жизнь и удовлетворение его потребностей, кров, питание, а также доступ к медицинскому обслуживанию. Во-вторых, право ...
Это объясняет, почему так трудно бороться с катастрофой, когда ее признаки сделались уже заметными: скорость ее приближения неограниченно возрастает по мере приближения к катастрофе.
Заключение
В одном из своих интервью известный математик Григорий Перельман говорил: «Всякая математическая теория, если она строгая, рано или поздно находит применение». Удастся ли доказать неизбежность некоторых катастроф, например болезней или смерти — этот вопрос интересует ученое научное сообщество давно.
«В философском, метафизическом плане теория катастроф не может принести ответа на великие проблемы, волнующие человека, — писал Рене Том. Но она поощряет диалектическое, гераклитовское видение вселенной»6.
«Математическая теория катастроф сама по себе не предотвращает катастрофы, подобно тому, как таблица умножения, при всей ее полезности для бухгалтерского учета, не спасает ни от хищений отдельных лиц, ни от неразумной организации экономики в целом», — писал в книге «Теория катастроф» В.И. Арнольд.
Однако жизнь показала, что неустойчивость – необходимый атрибут нашего мира. Но, как любая теория, она позволяет глубже вникнуть в суть вещей, явлений и процессов реального мира. С точки зрения математики катастрофа и хаос – вовсе не обязательно крушение всех надежд или еще какая-нибудь беда. Это резкая перестройка системы, качественный скачок ее состояния: неожиданный поворот жизненного пути, социальная революция, экономический бум. И важно в преддверии этих кризисных ситуаций найти нужный путь, не дающий «застрять» в кризисе. Помогают в этом знаки судьбы – «флаги катастроф», предупреждающие умеющего их читать, что пришел подходящий момент для головокружительного прыжка вверх. А если упустить момент, то будут тянуться перед тобой глухие кривые окольные тропы..7.
Список источников
[Электронный ресурс]//URL: https://psychoexpert.ru/referat/sotsialnoe-pole-sem-katastrof-rene-toma-katastrofa-sborki/
- Арнольд В.И. Теория катастроф [Электронный ресурс]: В.И.Арнольд / Наука и жизнь. – 1989 — № 10 – Режим доступа: http://the-mostly.ru/misc/
catastrophe_theory.html (дата обращения: 26.12.2013). - Дулепов В.И., Лескова О.А., Майоров И.С., редактор: Александрова Л.И. Системная экология. — Режим доступа: http://abc.vvsu.ru/Books/
sistemnaja_ekologija_up/ page0007.asp (дата обращения: 26.12.2013). - Чернавский А.В. Применение теории катастроф в психологии и экономике — Режим доступа: http://mathemlib.ru/books/
item/f00/s00/z0000009/st007. shtml (дата обращения: 26.12.2013). - Чирков Ю. Математика: теория катастроф — Режим доступа:
national/detail.php?ID=67944 (дата обращения: 26.12.2013). - Чуличков А. Теория катастроф и развитие мира. Малые параметры больших катастроф – Режим доступа: http://katastrofa.h12.ru/
theory.htm (дата обращения: 26.12.2013). 7 стр., 3304 словРаскольников и его теория преступления. Сущность «наказания» ...
... Раскольникова [Электронный ресурс] - Режим доступа: https ://frigato .ru /harakteristiki -geroev /1556-harakteristika -raskolnikova -prestuplenie -i -nakazanie .html (дата обращения: ... главный герой предстает перед нами эгоцентрической личностью. Он считает себя умнее всех и ... начинает показывать всю неверность теории своего главного героя. Опрометчивость теории Раскольникова читатель может осознать ...
