Модели с дискретными зависимыми переменными

метки: Модель, Переменный, Зависимый, Дискретный, Следовать, Значение, Число, Исследование

Изучение моделей с дискретными зависимыми переменными является важным разделом эконометрики. Модели с дискретными зависимыми переменными имеют не только теоретическое, но и практическое значение. Примерами экономических моделей с дискретными зависимыми переменными являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие. Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. Целью работы является рассмотрение моделей с дискретными зависимыми переменными и примеров их использования. Для достижения цели нужно решить следующие задачи: — изучить модели с дискретными зависимыми переменными; — рассмотреть модели бинарного выбора; — исследовать модели множественного выбора; — изучить модели счетных данных. Объектом исследования являются эконометрические модели с дискретными переменными. Предметом исследования являются модели с дискретными зависимыми переменными. В ходе работы были использованы следующие методы исследования: анализ, дедукция.

Глава 1. Модели с дискретными зависимыми переменными.

Как следует из рассмотренного в предыдущих разделах материалов, в эконометрических исследованиях обычно предполагается, что результирующий показатель y _t , является количественной величиной, которая в принципе может принимать любые значения на множестве действительных чисел. Однако в экономических и социальных исследованиях часто приходится сталкиваться с разного рода ограничениями на значения зависимой переменной. В частности, зависимая переменная может принимать только целочисленные значения: 0, 1, 2,… Примерами таких зависимых переменных являются:

1а. Семейное положение, которое выражается следующими категориями (и соответствующими целыми числами):

• холост (1);
• женат (2);
• вдовец (3);
• разведен (4).

1б. Альтернативные товары, между которыми выбирает покупатель, и которые представляются следующими числами:

• марка А(1);
• марка Б(2);
• марка В(3);
• марка Г(4);
• прочие марки(5).

Очевидно, что в обоих случаях числа служат только для разграничения понятий. Расстояние между двумя числами не имеет никакого значения.

2а. Оценки, полученные на экзамене:

• отлично(5);
• хорошо(4);
• удовлетворительно(3);
• неудовлетворительно(2).

2б. Классы гостиниц:

• пять звезд(1);
• четыре звезды(2);
• три звезды(3);
• две звезды(4) и т. д.

В случаях 2а и 2б (в отличие от 1а и 1б) понятия естественным образом упорядочены, и характеризующие их числа отражают этот порядок. Но различия между 1 и 2 понятиями не обязательно столь же сильные, как между 2 и 3 и т. д.

3. Число предприятий, обанкротившихся в текущем году (0,1,2…).

Так называемые счетные данные (countdata).

При представлении значений зависимой переменной в целочисленном виде эконометрическая модель, связывающая эти значения с соответствующим набором независимых факторов, имеет специфическое содержание. Обычно такая модель определяет вероятность осуществления события, заключающегося в том, что при известных уровнях независимых факторов зависимая переменная примет конкретное значение j из заданного набора значений j=0,1,2,….

Содержательное уравнение такой модели выглядит

Вероятность(событие j произойдет)=Вероятность(Y=j)=F (параметры, факторы).

Модели с дискретными зависимыми переменными могут быть классифицированы в зависимости от:

• а) типа переменных;
• б) выбранного закона распределения.

В свою очередь, внутри выделенных групп может быть развернута более подробная классификация в зависимости от более детальных свойств классификационных признаков. Эти детальные группировки будут рассмотрены по ходу дальнейшего изложения материала.

В научной литературе в зависимости от типа переменных модели с дискретными зависимыми переменными разделяются на модели выбора среди конечного числа альтернативных вариантов (примеры 1а,1б,2а,2б) и модели счетных данных

(пример 3).

В зависимости от числа вариантов, среди которых осуществляется выбор, различают модели бинарного выбора и модели множественного выбора. В отличие от моделей множественного выбора в моделях бинарного выбора результирующий показатель может принимать только два значения: 0 и 1.

К моделям множественного выбора относятся модели с неупорядоченными (примеры 1а, 1б) и упорядоченными (примеры 2а, 2б) альтернативными вариантами.

Рассмотрим особенности формализованного представления эконометрических моделей с различными видами дискретных зависимых переменных более подробно.

Глава 2. Модели бинарного выбора.

Модели бинарного выбора широко используются в экономических и социальных исследованиях, особенно в экономике труда, при проведении анализа на микро-уровне. Покажем их специфические свойства на примере модели трудовой активности населения, исходные предпосылки которой состоят в следующем. Индивидуум в определенный период времени может работать или искать работу (y=1) или не делать этого (y=0).

Предположим, что состояние “работать” или “не работать” определяется набором факторов (возраст, семейное положение, образование, опыт работы и т. д.), и соответствующие вероятности можно представить в следующем виде:

• P(y=1)=F(a¢x);
• P(y=0)=1–F(a¢x).

Вектор коэффициентов a отражает влияние факторов, например, характеризующих положение индивидуума в обществе, на рассматриваемую вероятность.

Одной из основных проблем при построении моделей бинарного выбора является обоснование функционала F(a¢x) . Например, предположим, как и в случае “классических” эконометрических моделей, что вероятности соответствующих событий могут быть представлены в виде линейной функции от значений рассматриваемых факторов:

F(a¢x)=a¢x=a ₀ +a₁ x₁ +…+a_n x_n ,

где a ₀ , a₁ ,…, a_n – параметры модели; x₁ ,…,x_n – значения независимых факторов.

Тогда, приняв M[y _t |x _t ]=F(a¢x_t ), соответствующую эконометрическую модель можно представить в следующем виде:

y _t =M[y_t |x _t ]+(y_t –M[y_t |x _t ])=a¢x _t +e _t

где M[y _t |x _t ]=– условное математическое ожидание переменной y_t при условии, что вектор независимых переменных равен x _t .

Линейная форма модели представляет определенное удобство для раскрытия содержания, входящих в нее слагаемых. Прежде всего, заметим, что между их значениями выполняется следующие соотношения (см. табл. 10.1).

Таблица 10.1

у t	P(у t =…)=	e t
1	a¢x t	1–a¢x t (с вероятностью a¢xt )
0	a¢x t	–a¢x t (с вероятностью 1–a¢xt )

Из табл. 10.1. следует, что ошибки e _t модели (10.43) имеют следующие характеристики:

M[e _t ]=a¢x_t (1–a¢x_t )+ (1–a¢x_t )( –a¢x_t )=0;

D[e _t |x_t ]=a¢x_t (1–a¢x_t )² +(1–a¢x_t )(–a¢x_t ) ² =a¢x_t (1–a¢x_t )(1–a¢x_t +a¢x_t )=a¢x_t (1–a¢x_t ).

где D[e _t |x_t ] – условная дисперсия ошибки e_t при условии, что вектор независимых переменных равен x _t .

Рассмотрим в качестве критерия выбора оценок параметров модели (10.43) минимум суммы дисперсий ее ошибок e _t :

a¢x _t )² +a¢x_t ) ² =x_t (1–a¢x_t )² +1–a¢x_t )(–a¢x_t )² =

=x _t (1–a¢x_t )=min. (10.45)

Используя МНК для оценки параметров модели (10.43) при критерии (10.45), получим следующую систему “нормальных” уравнений, относительно неизвестных оценок а ₀ , а₁ ,…, а_n :

Выполнив дифференцирование с учетом попарной независимости коэффициентов между собой и со значениями факторов х_it , i=1,2,…,T, эту систему можно представить в следующем виде:

В свою очередь, последняя система может быть представлена в векторно-матричном виде следующим образом:

или в компактной форме записи как

X×a=z, (10.47)

где матрица и вектор-столбец .

Из выражения (10.47) непосредственно вытекает, что неизвестные оценки параметров бинарной модели линейного типа могут быть получены на основании следующего выражения:

a=X ^–1 ×z, (10.47)

Однако линейная интерпретация (10.42) закона распределения вероятностей достаточно “неудобна” по своим “эконометрическим следствиям”.

Во-первых, заметим, что из выражения (10.44) вытекает, что ошибка eгетероскедастична, поскольку дисперсия ошибки зависит от вектора x. В таких условиях оценки параметров aмодели (10.43), полученные на основе выражения (10.48), являются неэффективными. Для получения эффективных оценок ее параметров, необходимо использовать обобщенный МНК.

Во-вторых, любой метод оценки параметров линейных моделей бинарного выбора не дает гарантий, что результат произведения a¢x может принимать значения только на интервале [0, 1]. С учетом выражения (10.44) несложно заметить, что при отрицательных значениях этого произведениях и значениях больших единицы будет иметь место и другой абсурдный результат – отрицательная дисперсия остатков. Это обстоятельство существенно ограничивает область применения линейной модели бинарного выбора. На практике она используется только для предварительной обработки данных и для сопоставления с результатами, полученными более тонкими методами.

Из приведенных рассуждений вытекает, что модель бинарного выбора должна удовлетворять двум условиям:

и

где a¢x®+¥ – область значений x, при которых P(y=1)=1, а a¢x®–¥ – область значений x, при которых P(y=1)=0.

При этом между значениями составных частей регрессионного уравнения должно выполняться следующее соответствие (см. табл. 10.2).

Таблица 10.2

у t	P(у t =…)=	e t
1	F(a¢x t )	1– F(a¢x t )
0	1– F(a¢x t )	–(1– F(a¢x t ))

Условиям (10.49) отвечает, например, функция F(a¢x), близкая к закону нормального распределения, график которой представлен на рис. 10.2. Ее использование позволяет снять рассмотренные выше ограничения моделей бинарного выбора. Модели с функционалом, обладающим свойством “нормального закона“, в литературе получили название probit-моделей: